Нужно разобраться в знаках при пояснении. Везде пояснение, вставной конструкции нет и не будет!
Вчера — в пятницу (—) я не пришëл, из-за того что был занят.
Нужно в первом примере второе тире или нет? Кажется, да.
Я не пришел вчера — в пятницу, (—) из-за того что был занят.
А во втором? Пояснения двумя тире обособлябтся или одним? Если двумя, то поглощается ли второе тире запятой, требуемой второй частью предложения?
Тире нужно. Знак запятая — тире ставится для приложений. Ещё: по структуре предложения кажется, что там объясняется причина, почему человек не пришёл. Тогда стоит разделить союз.
Вчера — в пятницу — я не пришëл из-за того, что был занят.
Я не пришел вчера — в пятницу, — когда вы уже приехали, из-за того, что был занят. (Чтобы запятая была, я вставил когда-оборот.)
Пример с приложением:
Мой друг-рыбак — старый хрыщ, с которым я отроду знаком, вчера окуня выловил.
