Рассказ о "короле" музыкальных инструментов — органе.
Почему-то хочется поставить здесь тире, хотя по правилам вроде бы нужна запятая. Есть ли случаи, когда нужно все-таки тире, если это не середина предложения?
Тире перед приложением Вы поставили правильно.
При обособлении приложений вместо запятой употребляется тире:
1) если перед приложением можно вставить слова а именно (без изменения смысла): В дальнем углу светилось жёлтое пятно — огонь квартиры Серафимы (Ж. Г.); Она зарисовала древние светильники с гербом города Ольвии — орлом, парящим над дельфинами (Пауст.); На суховатом лице Нечаева, с мягким мальчишеским лбом, остались следы ожогов — два белых незагорающих пятна (Н. Чук.);
2) перед распространенным или одиночным приложением, стоящим в конце предложения, если подчеркивается самостоятельность приложения либо дается разъяснение:Я не слишком люблю это дерево — осину (Т.) Д.Э.Розенталь. Обособленные приложения