В Армении как коренные армяне, так и бакинские армяне (последние — русскоязычные), в обиходе про спортивные штаны говорят: финки. Распространено это слово и в Азербайджане. Это бакинский сленг.
А вам, русским, это слово в этом значении известно?
Судя по всему, в данном значении "финки" - это региональный разговорный элемент: он встречается в форумах, связанных с Баку; в одной из книг автор пишет, что кроме как в Баку, нигде не слышал этого слова в значении спортивных брюк. Словари фиксируют "финки" в значении финских саней (их выдают напрокат зимой в некоторых парках крупных городов), но и в этом значении слово не везде употребляется (в Петербурге ни разу не слышал). Вот "финка" широко употреблялось в значении "финский нож" (холодное оружие); сейчас иногда этим словом неформально упоминают Финляндию (съездить в "финку").
Происхождение "финок" как штанов неясно. Слово созвучно с "трениками", но возникло оно явно раньше, поэтому вряд ли есть связь между этими словами. Возможно, это название смутно указывало на "северную страну", из которой когда-то пришла мода. Например, "финкой" (согласно словарям) называют и лошадь одной из северных пород. А возможно, в советские времена попавшая в Баку партия импорта из Финляндии дала неформальное название ставшему там популярным виду спортивной одежды.