После прямой речи ставится запятая, поскольку она была необходима в месте разрыва вводящих слов автора в сложном предложении.
И, безусловно, необходима точка в самом конце.
[Без прямой речи предложение выглядит так:
В последнем действии, когда Правдин говорит Митрофанушке, тот покоряется...]
Правильно:
В последнем действии, когда Правдин говорит Митрофанушке: "Пошёл-ка служить", тот покоряется, так как понимает, что это неизбежное зло, от которого он не сможет убежать.
§ 51. Прямая речь внутри слов автора
Дополнение
Схема Вашего предложения такова: А: "П", а.
Вот классический пример:
Я только посмотрел на неё, а она отвернулась и, сказавши: "Ступайте за мной, мой паж", пошла к флигелю (И. Тургенев).