Есть ли хоть одна ситуация, когда можно употреблять "на академии"?
Например, если описываются события, которые прошли на территории спортивной академии ("На академии завершился футбольный турнир", "На [полях] академии прошли отборочные матчи"), или использование этого предлога будет безграмотно в любом случае?
Правильно: В академии завершился футбольный турнир, в академии прошли отборочные матчи. Это книжная речь, что видно по лексике, по структуре предложений (завершился, прошли отборочные матчи).
В этих случаях предлог В не применяется, сравнить: В казанской Академии тенниса завершился VII Международный юношеский теннисный турнир ITF «Кубок Ельцина-2017».
Предлог НА может использоваться в разговорном стиле, когда падежная форма приобретает дополнительные или обобщенные значения: в академической среде, на территории академии. Смешение стилей не допускается, вот это уже будет безграмотно.
Примеры
1) Из Нацкорпуса: Вчера на академии (= на территории академии, среди сотрудников академии) спрашивал Алексея Григорьевича Ивахненко, моего приятеля, математика, спеца по моделям. [Н. М. Амосов. Дневник (1985)]
2) Возможный вариант разговорной речи: У нас на академии вчера играли последние отборочные матчи.
Сравнить: существует фразеологизм "первый парень на деревне" с предлогом НА, который тоже имеет обобщенное значение: среди местных, деревенских. Песня также есть: "От людей на деревне не спрятаться...".
АКАДЕМИЯ, 1. Название научных учреждений, задачей которых является развитие наук или искусств. А. наук России. А. художеств. 2. Название некоторых высших учебных заведений. Военно-воздушная а. Военно-медицинская а. Поступить, принять в академию. Исключить из академии.
Вопрос поставлен недостаточно точно. "На академии" может употребляться в единственном и множественном числе. Примеры:
На академии наши нашел черный год: едва в Российской почил Соколов, как в академии наук явился вице-президентом фокусник, а [Дондуков-Корсаков] его паяс. [А. С. Пушкин. Письмо И. И. Дмитриеву (1835.04.26)]
На Академии экономить не будем. [Василий Гроссман. Жизнь и судьба, часть 2 (1960)]
Сегодня общественное мнение при обсуждении проблем науки сфокусировано на Академии наук. [Дан Медовников, Александр Механик. Свобода науки как государственная необходимость // «Эксперт», 2013
Если сузить вопрос и рассматривать только случаи с вопросом "где?", то мой ответ таков.
Нигде не встречал "на академии" за одним исключением, которое нашел в Нацкорпусе:
Вчера на академии спрашивал Алексея Григорьевича Ивахненко, моего приятеля, математика, спеца по моделям. [Н. М. Амосов. Дневник (1985)]
Очевидно, имелось в виду "на заседании академии", такое бывает со словом "заседание", например, пишут "на совете" вместо "на заседании совета", "на директорате" вместо "на заседании директората":
Курьёзу с голосованием на совете если и рассмеялись, то из вежливости. [Александр Солженицын. В круге первом, т.1, гл. 26-51 (1968) // «Новый Мир», 1990]
… Недавно мне сообщили, что Валерия Цурикова пригласили в Париж для доклада и демонстрации «ИМ» на директорате ЮНЕСКО. [Леонид Лернер. Прошедший сквозь стену // «Огонек». № 3, 1991]
А примеры, приведенные в вопросе, нельзя считать грамотными.
Есть ли хоть одна ситуация, когда можно употреблять "на академии"?
Нет, в подобном значении (где?) подобное будет нарушением орфоэпической нормы. Ваши примеры неверны, там требуется предлог В.
Разумеется, можно придумать много примеров, отвечающих на другие вопросы (на чем?, на что?) с омонимичными формами слова "академия".
Они есть в других примерах, могу предложить еще варианты (На "Академии" в автобус набился народ = в значении на остановке "Академия"), но не думаю, что они вас интересуют.
