Я думаю, что Справка несколько переоценила значение обособления.
Т.е. его, обособления, свойство дифференцировать смысл.
Тут без контекста вообще сложно сказать, относилось ли "согласие отца" к краже лошади или к воображаемой части. И никакое обособление этого не изменит.
Вот если знать нверняка, что лошадь украдена Азаматом - и этот факт доподлинно известен Казбичу (кажется, по тексту оно так и есть), то мысль "Справки" становится понятной (хотя и не бесспорной). По её мнению, обособление оборота означало бы что Казбич вообразил, что лошадь украдена Азаматом (а он это, как мы приняли, и так наверняка знает), а отец упомянут вскользь. А вот без обособления весь смысл того, что Казбич вообразил, переносится именно на согласия отца. Как-то так... Не на все 100, но в общем-то можно согласиться.
Логика у них такая.
Если оборот обособлен, то он может быть изъят без существенного изменения смысл. А поскольку после изъятия весь смысл ложится на Азамата,то и с обособленным оборотом должно быть также. Тут все правильно, придраться трудно...
А вот почему в случае необособленного оборота смысл однозначно переходит на отца, не совсем понятно... Вернее понятно только по контексту. Логика типа "иначе бы обособили" (читай: "обособление выполняет смыслоразличительную функцию") тут как-то не срабатывает. Причинно-следственная связь нарушается.
Да и реально не подтверждается: фразу (в лермонтовской пунктуации, но без контекста) вполне можно понять и так, что Казбич вообразил сразу две вещи: что Азамат лошадь украл и что сделал это с согласия отца. А еще есть вариант, что украли-то с согласия отца, но не Азамат, а вот Казбич вообразил, что именно Азамат. И это не все, тут куча вариантов для гадания на кофейной гуще.
Для однозначного восприятия не хватает какой малости, Может, междометия какого-то или усилительной частицы...
Казбич вообразил, будто Азамат это с согласия отца украл у него лошадь.
Казбич вообразил, будто это Азамат с согласия отца украл у него лошадь.
Вроде бы сорное словечко, а все ставит на свои места. А заодно и иллюстрирует неоднозначность понимания понимания "по Справке". Обособления "согласия" не требуется вопреки справкиной логике...
Простите за длинноты, тут тонкая для меня материя, кратко не умею.