КАК РЕШАЮТСЯ ПОДОБНЫЕ ЗАДАЧИ
Устойчивый оборот "как побитая собака" имеет значение "приниженно, униженно, трусливо", то есть потребляется в значении наречия.
В большинстве случаев оборот обособляется, но обособление связано не с правилом "это фразеологизм или часть фразеологизма", а с особой структурой тех предложений, в которых он используется в качестве обособленного обстоятельства образа действия, например:
"Я смотрел на нее, как побитая собака, и не знал, что сказать". "Дырка ужасно перетрусил и начал скулить, как побитая собака". "Любезный молодой человек съежился, как побитая собака, и исчез". В то же время оборот может не обособляться, если тесно связан со сказуемым или входит в основное сообщение, например: "Вы, которая тут козыряет спесью семи цариц, а на встрече сидит как побитая собака".
Также для сравнения: "Наутро, как убитые, заснули мужики". - "А Иван, кряхтя, полез под дубовое корыто и лежит там как убитый". Обособление оборота зависит от его позиции в предложении.
РЕШЕНИЕ ДАННОЙ ЗАДАЧИ
(1)Если поставить запятую, все подумают, что это правильно: оборот, действительно, чаще всего обособляется.
(2) В то же время при обособлении получается нечеткая интонационная картина, при которой фраза "не нашлись что возразить и разбрелись по домам" противопоставлена фразе "как побитые собаки". Но ведь оборот относится к глаголу "разбрелись", поэтому желательно не делать между ними паузу, то есть не обособлять его.
(3)Есть еще решение:"Парламентарии - сбор блатных и нищих, столь же безынициативных, сколь и царь, - не нашлись что возразить и, как побитые собаки, разбрелись по домам. В этом случае обособление обязательно в силу его позиции в предложении, а оборот относится ко втором сказуемому.