В каких случаях наречие является частью составного именного сказуемого, а в каких — обстоятельством?
Например, здесь: «Семен оглянулся вокруг».
Не могу понять, чем оно является.
Семен оглянулся вокруг. Здесь наречие является обстоятельством, но наречие может входить в составное именное сказуемое.
Составное именное сказуемое включает связку и именную часть, которая выражается различными частями речи, в том числе наречием.
Существует три вида связок: знаменательная БЫТЬ (она обычно опускается), полузнаменательная ЯВЛЯТЬСЯ, КАЗАТЬСЯ, ВЫГЛЯДЕТЬ И ДР. (он показался мне усталым), и знаменательная - глаголы со значением движения или состояния (он пришел усталый, он спал одетый, линия получилась неровной). В приведенном примере глагол "оглянулся" не является связкой для наречия, так как он не имеет значение движения или положения.
Вообще говоря, знаменательная связка - вопрос сложный, так как это не полноценное служебное слово, а глагол с определенным предикативным признаком, такие варианты могут рассматриваться как ДУПЛЕКСИВЫ (двойные связи), когда предикативное определение согласуется и с подлежащим, и сказуемым.
Примеры составного именного сказуемого с НАРЕЧИЕМ и нулевой связкой: Он с ними заодно. Сосед навеселе. Друзья рядом. Сестра замужем. Теперь всё будет по-новому.
Пример с полузнаменательной связкой и наречием: Он выглядит впечатляюще.
А вот примеров со знаменательной связкой и наречием, кажется, и нет.
Нужно поставить вопрос и решить, какой это член предложения.
"Семен (что сделал?) оглянулся (как?) вокруг" (Где?) Вокруг ни души. - обстоятельство.
"Вокруг" может быть или наречием-обстоятельством или предлогом: Бегал (где?) вокруг дома. - предлог с существительным - обстоят.
Она весело побежала. Побежала (как?) весело - наречие, в предложении явл. обстоятельством.
Мне весело. Мне было весело. Мне (каково?) весело. - категория состояния, сост. именное сказуемое безличного предложения.