Например:
- Он трудоголик, оставляет в сутки себе всего пять-шесть часов на поспать.
- Он позвал меня на поиграть.
Строго говоря, в таких случаях нужно использовать кавычки, так как глагол употреблен в значении существительного, а такого значения в словаре нет.
Поэтому написание в кавычках корректно, можно, наверное, и курсив использовать.
Но сейчас эти сочетания стали привычными и чаще пишутся без кавычек, особенно в разговорной речи на форумах. Но и в художественной литературе такое оформление тоже встречается. Возможно, в будущем сочетание будет закреплено в словаре как разговорное.
Примеры из Нацкорпуса
— Жена, дети, внуки, бизнес. Приходить на поспать? Не вопрос. [Татьяна Соломатина. Девять месяцев, или «Комедия женских положений» (2010)]
В итоге остается 2 дня на поспать и, может быть, сексом заняться иногда (все смеются). «Хулиган», 2004.08.15]
Ему удавалось раскрутить на поиграть даже зацикленного на компьютерных играх стеснительного 12-летнего мальчика ― к концу вечера бесились только так вместе. [Форум: Компьютерные игры (2012)]
После школы, хоккея и домашнего задания времени вполне хватает и на погулять, и на поиграть. (Наши дети: Дошколята и младшие школьники. Форум (2005)