Правильно говорить и писать через «о».
Проверить можно словом «боль».
Поскольку «о» в «обезбо́ливающий» под ударением, тут не должно возникать аканья и звук «о» не должен переходить в «а» в корне.
Обезбо́ливающий, ая, ее (мед.). 1. Прич. действ. наст. вр. от
обезболивать. 2. Применяемый, служащий для обезболивания.
Обезболивающие средства.
[Толковый словарь Ушакова Д. Н.]
Транскрипция слова:
[аб'избол'ивай'ущ'ий'э]
[razborslova.ru]
Скорей всего, ошибочное произношение возникает из-за того, что в большом количестве однокоренных слов наблюдается аканье: «болеть» [бал’эт'], «больной» [бал’ной], «болезнь» [бал’эз’н'], «заболевание» [забал'иван'ийэ], «больничный» [бал'н'ич'ный] и т. п. — по сходству с этими словами также ошибочно произносят «обезболивающий» через [а].
А из неправильного произношения возникает неправильное написание.
Дополнение
При образовании видовой пары у некоторых глаголов в современном
русском языке наблюдается чередование о – а в корне. Поэтому проверять
гласную в корне глагола СВ нельзя глаголом НСВ с суффиксами
-ИВА-/-ЫВА-. Чередование гласных порождает ошибки в образовании глаголов НСВ от производящего глагола СВ, в котором гласная в корне
под ударением: боль — обезболить — обезболивать (обезбаливать —
ошибка).
Действующее правило:
- Если в глаголе совершенного вида ударение падает не на корневой гласный о, то в парном глаголе несовершенного вида вместо о
появляется а. Это правило в настоящее время в литературном языке
не знает исключений: вЫсмотреть – высмАтривать, корни
«смотр» и «сматр»; затормозИть – затормАживать, корни
«тормоз» и «тормаж».
- Если же корневой гласный в глаголе совершенного вида находится под ударением, чередования в несовершенном виде происходить не должно,
например: обезбОлить – обезбОливать, уполномОчить –
уполномОчивать. (но тенденция к замене -о- на -а- охватила почти
всю эту группу глаголов. В ряде случаев глаголы, у которых еще в
начале ХХ в. зарегистрированы формы с -о-, теперь употребляются только
с -а-) Под влиянием тенденции к замене о на а ряд слов пишется с
буквой а, хоть корень и находится под ударением, например:
облагорОдить – облагорАживать (сравните корни!); заморОзить –
заморАживать (сравните корни!). Эти слова – исключения из правила 2,
их достаточно много.
...
[grammatika-rus.ru]
Поскольку в глаголе совершенного вида «обезбо́лить» ударение падает на корневой гласный «о» чередования происходить не должно и глагол несовершенного вида будет — «обезбо́ливать», откуда причастие «обезбо́ливающий».
Точно так же в глаголе совершенного вида «просро́чить» ударение падает на корневой гласный «о», поэтому глагол несовершенного вида — «просро́чивать».
В приведённом правиле сказано, что
...тенденция к замене -о- на -а- охватила почти всю эту группу
глаголов. В ряде случаев глаголы, у которых еще в начале ХХ в.
зарегистрированы формы с -о-, теперь употребляются только
с -а-) Под влиянием тенденции к замене о на а ряд слов пишется с
буквой а, хоть корень и находится под ударением...
[grammatika-rus.ru]
Возможно, под влиянием именно этой тенденции стали говорить и писать «обезбаливающий», но в отличие от других подобных слов такое произношение и написание пока что не вошло в исключения. Может, потому, что это всё-таки медицинский термин и здесь важна точность, в том числе в соблюдении орфографических правил.