А! Я знаю как проверить, что такое невозможно.
Возьмите другой первый предлог, управляющий не родительным падежом, а любым другим. Например - К (чему).
(Подошли) к [около двухсот долларов]. - ну никак такое невозможно сказать. Потому что надо "к примерно двумстам долларам". К "около двумстам" - не получается. Значит, "около" тут действительно предлог - и именно он требует родительного падежа.
Попытка соединить несоединимое в исходном варианте спряталась за то, что оба предлога требовали родительного, поэтому не сразу было разоблачена.
Еще один похожий случай соединения несоединимого - "от/до в три раза больше (лучше, быстрее)". Очень любят рекламщики такое: "волосы стали до пяти раз пушистее". Но там хоть альтернативы нет нормативной. А у нас есть слово "примерно".