Клиента или заказчика в первую очередь волнуют его/их собственные интересы.
Тут нужно разобраться, чем отличается клиент то заказчика. Возможно, это синонимы, союз или употреблен в значении «то есть». Тогда нужно добавить запятые.
Клиента, или заказчика, в первую очередь волнуют его собственные интересы
В общем случае, если союз или имеет разделительное значение, то после слов "А или Б" в предложении употребляется единственное чило.
Клиента или клиентку в первую очередь волнуют их/свои собственные интересы.
Прозводитель действия — клиент или клиентка. Фактически это они волнуются по поводу своих интересов, а интересы тут пассивны. Но тут опять "А или Б", а значит требуется ед.ч. А поскольку род разный, то выход один — писать "свои".
Клиента или клиентку в первую очередь волнуют свои собственные интересы.