Куковать - это искать что-то важное(детей? себя? время?) и не находить, вопрошать без ответа, и, если образовано от слова кукует, то не имеющее отношение к кукушке, а имеющее отношение к людскому поведению, растерянности, поиску. Будем куковать/куковать - скорее расхожая идиома, нежели глагол какого-то действия и какой-то конкретики.
Утка кукует:
- Утка же между тем узнала, что дети ее умерщвлены злобною мачехою, неутешно о сем плакала и рыдала и не могла вытерпеть, чтобы к ним не полететь в церковь. И так в первую ночь прилетела в церковь, и, с гробницы на гробницу перепархивая, начала куковать: «Ку-ку, сын Данила, ку-ку, сын Гаврила, ку-ку, сын Недоседа! Не приказывала я вам на королевский двор ходить, но вы меня не послушались, и там извела вас моя мачеха». Сказка о Сарге-королевиче и Устинье-боярышне (1794-1795)
И далее. Кук - это что-то спрятанное от глаз: куколка(спрятанная гусеница), кукла(обернутая деревяшка), кулак(спрятанные пальцы), кукиш, кутать, куда, и скорее корень не кук, а опять ку.
Ку-ку - это забавная тавтология, куда-куда, где-где.
Κού/πού - по-гречески, это вопрос где(именно)? как(следует)?
Отсюда и народная детская игра в ку-ку-прятки-пряталки - ищи-ищи, где-где. "Ку-ку!" значит и где-где и тебя нашли, нашёл тебя.
Мама закрывает лицо, ребенок ищет её глаза и не может найти, где-где? Мама открывает руки, и видя ребенка говорит ку-ку - вот ты где! Вызывая у ребенка смех. То есть ку-ку - это одновременно и вопрос и ответ, а ау-ау - тоже, но уже на расстоянии, когда не видно.
Ку - где, ку-ку - вот ты/я где, тут я, ты тут.
А кук - это предмет или вещь, а не игра.
Кукушка же и кукует и подкидывает яйца в добавок, бросает, и улетает куда-то, может детей ищет: Ку-ку - где-где?
Κού-κου - ку-ку по-гречески.
Поэтому кукушка - это собственно звуки ку-ку и повторение слова ку - где, два раза. Где-где повторяшка - кукушка.
Зы: вот так, с детства знаешь игру, а что за игра не знаешь. Что б вы без меня делали)
«Не стало у меня родимой матушки, На кого оставили с сиротами? Заставила век кукушкой куковать. Выду на задворочек — нет моей родимой матушки». Толстой.
Кукушкой куковать - идиома также. Где матушка родимая - нет.
В фильме "Кин-Дза-Дза" главные герои являясь цаками вынуждены здороваться "Ку!", потому что они должны выражать высшую степень растерянности, люди-кукушки, которые ничего не могут сами понять или сделать, а должны во всем слушаться высших пацаков.
Насчет морфемы и корня, корень ку и повтор его два раза ку + ку + шка суффикс. Насчет повтора корней и слогов, такие слова встречаются, хотя наверное это ближе к примитивной речи: мама, папа, баба(бабА, кстати, уважаемый человек), балалайка, татарин(тата, тятя - ата, главный, вождь, думаю родственное с баба), кака, кикимора, мурмурация(ну это не русское, латинское, бормотание значит), варвар...
Такие слова любят... китайцы