Хороший вопрос. Разбирался я как-то давно с подобным в хорошей компании, поэтому даю основную идею тех обсуждений...
Но на самом деле тут прежде всего два момента.
Первое. В большинстве случаев решает автор, где у него приложение и где - "определяемое слово". Здесь автор решил (и логично), что "спортсмены клуба" основное, поэтому согласовал сказуемое по числу именно с ним. Так что тут вопросов нет, что имел в виду автор. С "офицером" так не получится.
И второе. Из ответа "Справки" не следует, что один офицер - однозначно определяемое слово. Вы немножко за них додумали. Справка настаивает на том, что имя собственное - приложение и поэтому второе тире не опускается. А не наоборот, не "приложение потому, что не опускается".
То есть ответ постулирует имя собственное как приложение. Другое дело, откуда они такое взяли... Скорее всего они исходили из того, что при такой конструкции фразы личное имя одного героя не может быть главным в смысловом отношении, главным является то, что он офицер, "один офицер". Я подозреваю, что формального правила на этот конкретный случай нет, теоретически можно и по-другому грамматику истолковать, но уж очень вычурно получится имя собственное считать тут основным. В крайнем случае, если бы автор настаивал на ином, следовало бы переставить местами. И только Сергей Гаврилов, один офицер, заметил.. - вот тут нет сомнения, что один офицер - уточняющее приложение, но фраза явно какая-то кособокая, чего-то в ней не хватает. Поскольку смысл фразы не мог измениться настолько от перестановки приложения в конец, получается, что в исходном варианте "один офицер" тоже не является приложением.
Вот только так, наверное, рассуждая о смысле высказывания, и можно отличить одно от другого, если на это нет прямых грамматических указаний.
Еще со школьных времен помню, что, к сожалению, в таких случаях учителя и учебники предлагают "подумать", что здесь главное, самостоятельно, а в каком направлении думать, не сообщают. Или смотреть в словари, что тоже до добра не доводит. Любимый пример таких рассуждений - "сторож-старик". Постулируется, что "сторож" главное, но ведь это от контекста зависит. Если это профессия во главу угла ставится, вопросов нет. А ну как это про слёт долгожителей и вообще статья о геронтологии?! Там профессия побоку, важно именно то, что он старый и мужчина. Вот тут тот же случай. Приходится каждый раз решать за автора, что для него важнее.