А кто распространяет мнение, что предложение не может начинаться с присоединительных союзов (в некоторых случаях без такого союза и предложения не построишь)?. Да и классики безо всяких ограничений располагали союзы И, НО, А в начале предложения, например:
А потом показалось и солнце, горячее июльское солнце, под лучами которого мокрая трава точно задымилась. (Д. Н. Мамин-Сибиряк).
И почему я думаю, что это она? и почему я даже так в этом уверен? (М. Ю. Лермонтов).
И зачем мне церемониться, в самом деле? (И. С. Тургенев).
И он подумал, что это опять был только сон… (В. Г. Короленко).
Но что-то не давало мне спать: достаточно было тонкого напева комара, чтобы очнуться (И. А. Бунин).
Другое дело, что использование союзов должно быть обоснованным и соответствовать их значению. К примеру, вряд ли учителю понравится, если ученик каждое предложение будет начинать с союза А.