"Маньчжурия" - от того, имхо, что в китайском два звука Н - носовой и обычный. Последний как правило передается на русском через НЬ. В английском наоборот, носовой передается через NG.
Посмотрите систему Палладия. К мягкости/твердости звуков в русском отношения не имеет.
Что касается Меншикова (со всеми варинтами), то скорее всего и тут вопрос мягкости/твердости не стоит.
Написание имен собственных часто закреплено традицией и не всегда точно можно сказать, насколько у этой традиции есть историческое объяснение.
Надо тщательно проанализировать и сопоставить ряд моментов. Когда закрепилось именно такое написание фамилии, когда отвердели в русском шипящие, был ли там ерь в старом написании - и вообще точно ли фамилия происходит от "меньшой", а не от созвучного слова (такое тоже бывает) и не от диалектного произношения (это самое верное, ибо подобное произношение, если не ошибаюсь, свойственно аж старопетербуржскому говору).
Мне все это делать откровенно лениво, результат все равно будет нулевым или малозначимым. Ибо, как сказал бы один недоброй памяти персонаж, "свойствам русского языка не противоречит". В смысле - твердое произношение.