Обидеться - чувствовать обиду,т.е. горечь, досаду, вызванные несправедливым, оскорбительным отношением к себе.
Сердиться - испытывать раздражение, гнев на кого-либо, синонимы - гневаться, злиться, серчать. И это не обязательно связано с обидой.
Правда, в словаре синонимов они в одном ряду, но синонимы - похожие слова, а не тождественные(обидеться, оскорбиться, жаловаться, негодовать, роптать, претендовать на что, сердиться, быть в обиде, задеваться, дуться, ударяться в амбицию, надувать губы, быть в претензии, расстраиваться, входить в амбицию, ущемляться, притесняться, дуться как мышь на крупу; частичн.: оскорбиться, огорчиться). Похожесть в негативных эмоциях.