Пусть у ребенка будет стремление хоть к чему-нибудь(,) и пусть он будет хотя бы чем-то занят!
Я правильно понимаю, что пусть - это общий член предложений и запятая в скобках не нужна?
Нет, частица пусть не является общим членом предложений в составе сложносочиненного: она просто повторяется в обеих половинах.
Чтобы она была общей, необходимо убрать её повтор:
Пусть у ребенка будет стремление хоть к чему-нибудь и он будет хотя бы чем-то занят!
Однако, в данном примере, обе части сложносочиненного предложения выражены побудительными предложениями. Поэтому, согласно "Правилам русской орфографии и пунктуации"1:
§112. (...) В сложносочиненном предложении с одиночными союзами и, да (в значении «и»), или, либо запятая не ставится в следующих случаях:
(...)
5) если части сложносочиненного предложения представляют собой побудительные, вопросительные или восклицательные предложения; объединяющей здесь оказывается интонация.
Так что запятая тут не ставится, но не из-за общей частицы пусть:
Пусть у ребенка будет стремление хоть к чему-нибудь и пусть он будет хотя бы чем-то занят!