Остаться одному/одним
Оба варианта правильны. Это два разных значения, чуть ли не противоположных по смыслу..
Остаться (в каком состоянии?) одному - в одиночестве,
Остаться (кем?) одним [тех, кто... ] - напротив, пребывать в некоторой группе.
Надо отметить, что выражение "остаться одному" возможно только в такой, безличной форме со значением категории состояния или модального предикатива (тяжело остаться одному, придется остаться одному), в личных формах заменяется на "один" (в соотвветвующем числе и роде).
Вы же очень много пишете и не приводите содержательных примеров, поэтому просто перемудрили.
Будто слово одному согласуется по падежу со словом мне, в то время как "одному" должно быть зависимым от "мне"
Здесь "одному" в значении предиката (наречном или категории состояния), поэтому ни с чем согласовываться не должно в принципе. Да и вообще разберитесь в терминах синтаксической связи. Глагол управляет дополнением, а согласование возможно, например, между подлежащим и сказуемым. Я не могу представить форму "одному" в предлоджении с двумя главными членами. То есть все ваши рассуждения о каком-то "согласовании" просто изначально неверны.
ПС, если вопрос не на понимание, а на формальное знание, с точным объяснением лучше дождаться кого-то из практикующих или практиковавших преподавателей.
(++) ====
О дательном падеже в безличных предложениях есть у Валгиной И Розенталя
http://www.hi-edu.ru/e-books/xbook107/01/part-157.htm
К сожалению, адаптированные источники обычно ограничивются упоминанием того, что дательный падеж в безличном предложении - вполне частая вещь. Но причины не разбирают. А на самом деле тут можно глкбоко в имторическую грамматику залезть, если вспомнить, что современный русский инфинив - потомок дательного падежа особого отглагольного существительного.
(++) ====
У меня вопросы ко всем, утверждающим, что "Ему" согласовывается с формой "одному".
Согласование (в синтаксическом смысле) предполагает наличие основного слова, от которого идет вопрос к подчиненному. И это не изменить никакими ссылками на "дуплексивы" (а что оно такое вообще?).
~1. Какой тут вопрос? Неужели "какому?"
~2. Уберите "ему" из фразы. Тяжело оставаться одному. С чем тут согласуется "одному"?! В словосочетании с синтаксической связью удаление из фразы главного слова сочетания убивает грамматику. Тут этого не происходит.
Поскольку вопросу наполовину риторические, делаю вывод. Утверждение о наличии согласования (как вида синтаксической связи!) между "ему" и "одному" неверно изначально.
Говорить о какой-то семантической связи и тем более "дуплексивах" не буду в силу того, что пока нет возможности убедиться, что именно под этим понимают авторы. Во всяком случае явно не то, о чем спрашивали.
На мой взгляд глагол "отаваться" здесь управляет как формой "ему", так и формой "одному". Поэтому они и совпадают в падеже. Но не более того, говорить о согласовании нут неуместно.
(+++) ====
И все-таки о "дуплексивах". Не имея возможности увидеть тот текст, о котором говорит @Sharon, но исходя из смысла выражения двунаправленная связь, могу лишь предположить, что двунаправленная связь усматривается в сочетании типа "ему одному" - здесь за главное слово можно выбрать любое, которое и согласуется с другим в роде и числе. Но это ошибочное представление, поскольку в данном случае "ему одному" не является словосочетанием и говорить о наличии синтаксической связи неправильно.
(+++) ====
Дуплексив - это особый тип второстепенного члена предложения, который
связан с двумя членами предложения (глагольным и именным), отвечает на
вопрос обстоятельства или дополнения, характеризуется двумя значениями -
обстоятельства и определения или дополнения и определения и выражается
именем прилагательным, именем существительным, реже -
другими частями речи (именем числительным, местоимением, причастием).
https://literary.ru/literary.ru/readme.php?subaction=showfull&id=1206018568&archive=1206184486&start_from=&ucat=&
Пока не будет другого содержательного и однозначного понимаемого определения, буду трактовать этот термин так и только так.