Вот предположение автора вопроса: Или наречие с "не" со значением отрицания необязательно должно быть сказуемым, то есть являться предикативом ("до остановки не далеко"), чтобы писаться раздельно?
Но откуда это предположение взялось — вот что интересно.
В грамматике существует такое понятие, как общее и частное отрицание. Если частица НЕ относится к предикативу, то это называется общим отрицанием. Но частица НЕ может относиться к любому слову (а также словосочетанию), и это будет частное отрицание. В этом случае также приходится различать слитное и раздельное написание НЕ.
Послушаем Г. Р. Державина: Как сон, как сладкая мечта, Исчезла и моя уж младость; Не сильно нежит красота, Не столько восхищает радость...
Посмотрим у Розенталя: http://old-rozental.ru/orfografia.php?sid=74#pp74
Примечание. В некоторых случаях возможно двоякое толкование текста и, как следствие, двоякое написание частицы НЕ с наречием. Ср.: редактор уехал ненадолго (‘на короткое время’),
редактор уехал не надолго (‘не на продолжительное время’).
Заглянем в Нацкорпус: По его словам, действия Минфина не сильно повлияют на рынок. Я бы не сильно переживал за японцев, работать они умеют.Там и сейчас не сильно жарко. Даже не сильно ржавый бак в интернете можно найти за две тысячи.
ВЫВОД
1) Во всех приведенных примерах частица НЕ не относится к предикативу, но пишется раздельно.
2) Есть, правда, одна хитрость, на которую не все обращают внимание. Чтобы обстоятельственное наречие писалось раздельно, на него должно падать ударение.
Сравнить: Я негромко свИстнул, подзывая собАку. Он не грОмко сказал, но все услышали. В безударной позиции обстоятельственное наречие обычно пишется слитно.