Если фраза не заканчивается цитатой, то после цитаты ставят запятую (если цитата входит в состав деепричастного оборота или завершает первую часть сложного предложения) или тире (если цитата заканчивается многоточием, восклицательным или вопросительным знаком, а также если по условиям контекста отделять последующий текст запятой не нужно).
Если убрать цитату, то предложение будет таким:
А если привести в пример широко известную фразу, то все обязательно с этим согласятся.
Это означает, что в Вашем сложном предложении нужна именно запятая перед "то", а не тире (т.е. предложение оформлено правильно).
Дополнение
Да, можно, конечно, и без двоеточия:
А если привести в пример широко известную фразу о том, что «каждый должен заниматься своим делом», то все обязательно с этим согласятся.
Смысл предложения от этой "коррекции" не меняется, но оно становится, как мне кажется, проще для восприятия.