**Если фраза не заканчивается цитатой, то после цитаты ставят запятую** (если цитата входит в состав деепричастного оборота или завершает первую часть сложного предложения) **или тире** (если цитата заканчивается многоточием, восклицательным или вопросительным знаком, а также если по условиям контекста отделять последующий текст запятой не нужно).  

Если убрать цитату, то предложение будет таким:  
*А если привести в пример широко известную фразу, то все обязательно с этим согласятся.*  
Это означает, что в Вашем сложном предложении нужна именно **запятая** перед "то", а не тире (т.е. предложение оформлено правильно).  

**Дополнение**  

Да, можно, конечно, и без двоеточия:  
  
***А если привести в пример широко известную фразу о том, что «каждый должен заниматься своим делом», то все обязательно с этим согласятся.***  

Смысл предложения от этой "коррекции" не меняется, но оно становится, как мне кажется, проще для восприятия.