Какие основания считать, что LЬGЪKЪ родственно LEVIS?
Изучение языков позволило воссоздать слова дописьменной речи. К таким воссозданным словам относится и *LЬGЪKЪ, звёздочка перед словом это как раз и означает. Таким образом учёным удалось воссоздать многие слова древних языков, помимо этого были выявлены законы, по которым звуки одного языка переходили (и переходят) в другой язык. Именно на основании этих переходов Фасмер и сделал свои выводы.
Всё это долгая и кропотливая работа, требующая огромного количества знаний. Учитывая же ещё и то, что несмотря на трудность освоения этимологии, дохода она приносит немного, учёных-этимологов очень мало. Чем и пользуются разные спекулянты от языка, вроде Алексеева, Задорного и иже с ними.