Вы правы, правилен первый вариант:
«Я не хочу есть это брокколи, мама», – сказал Леопольд.
Запятая всегда ставится после кавычек, но перед — никогда.
А если перед закрывающей кавычкой стоит вопросительный знак, восклицательный знак или многоточие, то запятая и после кавычек не ставится.
См. «Полный академический справочник» под ред. Лопатина:
§ 134. Если прямая речь стоит перед вводящими ее словами автора, то после прямой речи ставится запятая и тире, а слова автора начинаются со строчной буквы: «Мы всё прекрасно понимаем, Николай Васильевич», — съязвил про себя Солодовников, присаживаясь на белую табуретку (Шукш.). Если после прямой речи стоит вопросительный, восклицательный знак или многоточие, то эти знаки сохраняются, а запятая не ставится…
