Кроме косвенного вопроса, можно использовать вариант с прямой речью:
Задавшись было вопросом: "Откуда же идёт этот звук?"— я тут же получил ответ.
У Роозенталя: http://old-rozental.ru/punctuatio.php?sid=159#pp159
На вопрос мой: «Жив ли старый смотритель?» — никто не мог дать мне удовлетворительного ответа (П.).
Тире ставится после вопросительного/восклицательного знака, которым заканчивается прямая речь.
Выбор варианта по желанию автора. Прямая речь обладает большей выделительной способностью, при этом можно предать вопросительную интонацию.
Пример деепричастного оборота с частицей "было":
Вошел в сарай, решив было улечься на сиденье, но, покачав головой, вышел и, постелив старую доху прямо на землю, под сосенкой, бухнулся на нее. [Вячеслав Рыбаков. Вода и кораблики (1992)]