Я думаю, произошло смешение понятий. Есть средства платежа (деньги, чеки и т. п.) и есть способы платежа (среди них — использование банковской карты). В сознании потребителей банковская карта превратилась в средствo платежа, так вошло в употребление выражение "оплатить карточкой" по ананлогиианалогии с "оплатить деньгами". Однако сочетание прожилосьприжилось — и ничего с этим не поделаешь.
Для того чтобы сделать серьезное приобретение, потребителю не придется оформлять кредит в магазине-партнере ― покупку можно будет оплатить картой. [События (2004) // «Бизнес-журнал», 2004.03.03]
А употребление выражения "оплатить по карточке" считаю ошибкой.