Лучше выбрать Р.п.: Я не слушаю того, что мне говорят.

Обоснование для использования Р.п.:

1. Если в качестве зависимого слова используется местоимение: не допущу этого; не делайте того.http://new.gramota.ru/spravka/letters?id=67

2. При глаголах восприятия, мысли, желания, ожидания (видеть, слышать, понимать, думать, знать, хотеть, желать, ожидать и т.п.), например: Печали в ее словах Самгин не слышал (Горький); Он... деревни не знал (Чехов); Степка проглотил... конфеты и даже не заметил их вкуса (В. Гроссман); http://evartist.narod.ru/text1/66.htm#з_04

Лучше выбрать Р.п.: Я не слушаю того, что мне говорят.

Обоснование для использования Р.п.:

1. Если в качестве зависимого слова используется местоимение: не допущу этого; не делайте того. Какой падеж нужен при отрицании? | gramota.ru

2. При глаголах восприятия, мысли, желания, ожидания (видеть, слышать, понимать, думать, знать, хотеть, желать, ожидать и т.п.), например: Печали в ее словах Самгин не слышал (Горький); Он... деревни не знал (Чехов); Степка проглотил... конфеты и даже не заметил их вкуса (В. Гроссман); §201. Падеж дополнения при переходных глаголах с отрицанием