Правильно: щи из квашеной капусты.
ЩИ, мн. Жидкое кушанье из рубленой капусты или щавеля, шпината . Щи из крапивы. Зелёные щи (из шпината, щавеля и т.п п.). . Свежие щи (из свежей капусты). Кислые щи (из квашеной капусты). Суточные щи (из квашеной капусты, выдержанные в печи в течение суток после приготовления).
Щи с квашеной капустой - неточное выражение, так как предлог С обозначает сопутствующий предмет, а капуста для щей - ингредиент основной, определяющий. Да и фонетика такого сочетания неудобна для произношения.
