Ваш заголовок не соответствует вопросу.
Отвечаю на вопрос, заданный в тексте. Оба варианта возможны. Не очень понимаю, почему вы решили их противопоставить. Если "или" является частью прямой речи, то второй вариант, если нет, то первый.
Что до точки после прямой речи (требующей вопросительного или восклицательного знака), то вопрос тут достаточно дискуссионный. Скорее нужна, чем нет. Но я не буду подробно отвечать, пока не пойму, что вы спрашиваете именно об этом, чтобы не запутать все окончательно.
Вот первое, что попалось из того, что я помнил. http://yermolovich.ru/board/1-1-0-88
Резюмирую: в условиях неразберихи нужно отдать приоритет логике. Отсутствие точки в конце повествовательного предложения, включающего прямую речь или цитату, лишает предложение завершённости. Поэтому я в таких случаях рекомендовал бы точку всё же ставить, а при необходимости обосновать это ― ссылаться на §135 справочника Розенталя, тем более что и текст указаний §119 (если не считать реальной пунктуации примеров в этом параграфе) формально этому не противоречит. (Подробности - по ссылке)
Автора нельзя отнести к общепризнанным авторитетам, но уверяю Вас, он говорит именно то, что и куда более непререкаемые авторы. Я еще поищу. Чуть позже.