Классификация частей речи проистекает из возможных функций в предложении, а у некоторых предметов классификации функций может быть больше одной. "Тем не менее" вполне может быть и вводным словом, например, в случаях противопоставления предшествующему законченному высказыванию (предложению или целому абзацу). Исходное высказывание в виде одного предложения может иметь грамматическую связь с противопоставляемым (с возможностью объединения в одно с ним предложение) или не иметь её (имея только смысловую связь с ним).

Жюль Верн не был путешественником. Тем не менее, в его книгах настолько живо описаны особенности дальних стран, что можно подумать, будто он сам в них побывал.

В примере с перестановкой функция "тем не менее" не меняется, если сохранить запятые. Но если их отбросить, то вносимое противопоставление оказывается направленным на "общим (гравит. полем)", в противоположность подразумеваемым "раздельным". Смысл изменяется с "тем не менее, они *связаны*" на "тем не менее, связаны они *общим* полем". В исходном варианте оно может относится ко всему после деепр. оборота, в изменённом - только к "общности" поля (соответственно, перестаёт быть "вводным словом"). Более наглядна функция "вводного слова" в разбитом на две фразы исходном предложении. Она не изменится при перестановках "тем не менее" на позиции после "оно" или после "связаны" ( в обоих случаях появится акцент на "связаны").

Они не касаются друг друга. Тем не менее, они связаны общим гравитационным полем.