>Клиента или заказчика в первую очередь волнуют его/их собственные интересы.

Тут нужно разобраться, чем отличается клиент то заказчика. Возможно, это синонимы, союз *или* употреблен в значении «то есть». Тогда нужно добавить запятые. 

**Клиента, или заказчика, в первую очередь волнуют его собственные интересы**

В общем случае, если союз *или* имеет разделительное значение, то после слов "А или Б" в предложении употребляется единственное чило.