>Клиента или заказчика в первую очередь волнуют его/их собственные интересы.

Тут нужно разобраться, чем отличается клиент то заказчика. Возможно, это синонимы, союз *или* употреблен в значении «то есть». Тогда нужно добавить запятые. 

**Клиента, или заказчика, в первую очередь волнуют его собственные интересы**

В общем случае, если союз *или* имеет разделительное значение, то после слов "А или Б" в предложении употребляется единственное число. 

>Клиента или клиентку в первую очередь волнуют их/свои собственные интересы. 

Прозводитель действия — клиент или клиентка. Фактически это они волнуются по поводу своих интересов, а интересы тут пассивны. Но тут опять "А или Б", а значит требуется ед.ч. А поскольку род разный, то выход один — писать "свои".

**Клиента или клиентку в первую очередь волнуют свои собственные интересы.**