***Чашки по объёму оказались в самый раз что мне надо.***

Фраза  выглядит некорректно. Какие тут проблемы? 

1)  Глагол «оказались»  – это связка,  он обычно управляет Т.п или И.п. существительного, прилагательного, местоимения.  Если использовать  после «оказались» устойчивое сочетание, то оно должно быть компактным, с минимальной распространенностью.  Кроме того,  желательно включить в него местоимение ТО (И.п.)

2)  Дополнение «мне» не лучшим образом влияет на устойчивость сочетания.

3)  Выражения «в самый раз»  и  «как раз»  могут быть синонимами, при этом у них две функции: предикатив или  усилительное слово. При наличии связки  это только усилительное слово (именно, точно), в этом случае  «как раз»  более уместно для образования устойчивого сочетания.

Поэтому можно предложить два варианта. 

(1) ***Чашки по объёму оказались как раз то что надо.***  Здесь использовано местоимение «то»  после связки. Сравнить (из Нацкорпуса): Катер оказался то что надо. 

(2) ***Чашки по объёму оказались походящими,  в самый раз что мне надо.***
Здесь  устойчивое сочетание в функции второго предикатива, требования к нему минимальные.

К предложенным литературным вариантам  в первом ответе тоже есть вопросы. 

(1) *Чашки по объёму оказались как раз что надо.* Желательно  использовать местоимение «то» для сочетаемости со связкой.

(2) *Чашки по объёму оказались как раз такими, что мне надо.* Союзное слово ЧТО заменяет союзное слово КОТОРЫЙ, а здесь союзное слово КАКОЙ. Лучше сказать: Чашки по объёму оказались как раз такими, какие мне нужны.