>Какую роль тут играет глагол "было"?  
    
Написание такое вполне современно, и "было" здесь действительно по современным понятиям совсем не глагол, но вот насчет роли... По большому счету - никакой. Модальная функция вполне реализуется частицей "чуть", а усилительная тут не нужна, ибо и так ясно, что действие не закончено или не доведено до конца. тем самым ставится под сомнение тезис о том, что "было" здесь самостоятельная частица.

В ряде словарей (Толковый Ефремовой, например, и словарь-справочник Пахомова,Свинцова, Филатова) все сочетание "чуть было не" трактуется как *неделимая* частица со значением "едва не". Я вполне разделяю этот подход.