Хороший вопрос. В общем-то скорее от *брать*. Но можно и от *браниться*. Но не в привычном нам значении.  
Тут дело в том, что словать брать и бранить(ся) - родсnвенны на уровне праславянской общности. Брань - церковнославянский вариант, вытеснивший русское *боронь* (отсюда борона). И это *боронь, бороться* восходит к тому же праславянскому (или даже индоевропейскому) корню -brat-, откуда развилось и современое *брать*.  
Но только иметь в виду, что в *самобранке* подразумевается не тот, кто *берёт со скатерти*, а сама скатерть, которая сама *откуда-то берёт яства*. Правда *берет* не в современном значении *достаёт*, а в древнейшем - *несёт, приносит*, каким и было то самое праславянское -brat-. **Самобранка - сама приносящая**. 




Да, точный перевод невозможен. Думаю, что лучше предлагаемого всеми словарями magic table-cloth невозможен. Или вообще без перевода оставить. Я как-то искал, как англичане переводят волшебную мельницу Сампо из Калевалы - и ничего кроме magic mill не нашел. А ведь эта штука гораздо ближе к древнегерманскому фольклору. Куда уж тут русской скатёрке с не до конца понятными функциями.