Хороший вопрос. В общем-то скорее от "брать". Но можно и от "браниться". Но не в привычном нам значении.  
Тут дело в том, что словать брать и бранить(ся) - родсвенны на уровне праславянской общности. Брань - церковнославянский вариант, вытеснивший русское "боронь" (отсюда борона). И это "боронь", "бороться" восходит к тому же праславянскому (или даже индоевропейскому) корню -brat-, откуда развилось и современое "брать".  
Но только иметь в виду, что в "самобранке" подразумевается не тот, кто берёт **со скатерти**, а сама скатерть, которая сама откуда-то берёт яства.  

Да, точный перевод невозможен. Думаю, что лучше предлагаемого всеми словарями magic table-cloth невозможен. Или вообще без перевода оставить. Я как-то искал, как англичане переводят волшебную мельницу Сампо из Калевалы - и ничего кроме magic mill не нашел. А ведь эта штука гораздо ближе к древнегерманскому фольклору. Куда уж тут русской скатёрке с не до конца понятными функциями.