В слове ''воробей'' действительно, основой является все слово. Оно образовалось, по мнению академика Шанского, одного из авторов ''Этимологического словаря русского языка'', при помощи суффикса -ии (-ей) от той же основы, что и славянские названия этой птицы типа польского ''wrоbel''. Славяне издревле так именовали птицу по её чириканию: звукоподражательная основа в словах ''воробей'', ''воробушек'', ''воробка'' та же, что и в слове ''ворковать''. Основой этому глаголу, как и глаголу ''ворчать'', послужило несохранившееся ныне слово ''ворк''. В Толковом словаре Даля синонимами к слову ''воробей'' служат:
Воробка, воробьиха ж. воробыш или воробышек, кур. воробойка м.<…> Воробьёнок, воробьёныш м. малый воробышек, воробьиный птенец. (Из ''Толкового словаря живого великорусского языка Владимира Даля''.)
В слове же ''воробушек'', согласно 'Морфемно-орфографическому словарю Тихонова, корень вороб/ушек/ышек (косой чертой отделен суффикс). Суффикс ушк, ышк добавляется к его этимологическому корню.
В славянских языках известны аналоги этого слова, имеющие один и тот же корень:
укр. горобець
белор. верабей
болг. врабче, врабец
серб. врабац (так же в сербохорватском)
чеш. vrabec
польск. wróbel