Нужна запятая?
Это кот Шовник(,) или, по-другому, именно тот единственный кот, имеющий у нас шов.
Думаю, что да. Это случай , где союз «или» присоединяет пояснительную конструкцию (обычно обозначающую одно и то же понятие другими словами).
Пример: Бабушка показала мне деревянный ларь, или ящик, широкий вверху и узкий внизу.