Вносим чуть-чуть изменений:
Тебе нельзя иногда покидать домишко, сына, например когда кот в командировке — по 5-му пункту «Розенталя», запятая перед когда не ставится, т. к. здесь присоединительное значение;
Тебе нельзя иногда покидать домишко, сына, — например, когда кот в командировке — нет присоединительного значения, обособление вводного слова по обычным правилам: слева тире, справа — запятая. Запятая перед тире закрывает обращение;
Ты можешь сегодня делать многое, например ты можешь пойти в Сосновку-парк — например входит в уточняющий оборот и не отделяется от него запятой;
Ты можешь сегодня делать многое — например, ты можешь пойти в Сосновку-парк — тот же современный вариант обособления вводного слова;
Ты можешь сегодня делать многое: например, ты можешь пойти в Сосновку-парк — многое — обобщающее слово.