1. — Ко… ко… — он набрал воздуха в грудь...
Если после прямой речи начинается самостоятельное предложение (то есть слов говорения нет), то слова автора пишутся с заглавной буквы. Правильно:
— Ко… ко… — Он набрал воздуха в грудь...
2. ...чтобы сказать: «Ко-фе, что ли, сегодня выпить?», — и попробовал снова...
Если прямая речь заканчивается вопросительным знаком, то запятая после закрывающих кавычек не ставится. Правильно:
...чтобы сказать: «Ко-фе, что ли, сегодня выпить?» — и попробовал снова...
3. ...и попробовал снова. — Ко…
Если слова автора заканчиваются глаголом со значением высказывания, то после него ставится двоеточие и тире [и попробовал снова сказать, произнести]. Правильно:
...и попробовал снова: — Ко…
4. Слова, которые кто-то собирался сказать (Ко-фе, что ли, сегодня выпить?), думаю, лучше ввести в состав слов автора на правах члена предложения.
Тогда получится вот такая прямая речь, оформленная в один абзац:
— Ко... ко... — Он набрал воздуха в грудь, чтобы сказать «Ко-фе, что ли, сегодня выпить?», и попробовал снова: — Ко...
Знаки препинания при прямой речи