...если не используется слово «гостиница», то надо ли сохранять кавычки в тексте?
Конечно надо, обязательно надо!
Правильно:
— Встретимся в «Обезьяне».
— Хорошо! До встречи!
Гостиница — это родовое слово, "Обезьяна" — название, заключенное в кавычки (имя собственное).
В отсутствие родового слова данное название гостиницы склоняется, кавычки остаются (куда ж им деваться-то?).
В их планы вовсе не входили встречи с соотечественниками, поэтому поселились не в «Прибалтийской» или «Октябрьской», а в «Ленинграде», где иностранцев больше, чем советских. [Михаил Гиголашвили. Чертово колесо (2007)]
Поздно приехали в Таллин, с трудом получили номер в «Паласе». [Давид Самойлов. Поденные записи (1934-1869) (1965)]
Как-то поздно ночью, когда я уже вернулась к себе в номер в «Англетере», умылась и легла спать, раздался стук в дверь. [Рина Зеленая. Разрозненные страницы (1981)]