Вероятно, вашему случаю соответствует такое правило постановки запятой и тире (см. здесь).
Запятая и тире ставятся для обозначения «перелома» первоначальной конструкции, для указания, «с одной стороны, на расчлененность предложения, а с другой — на то, что та его часть, которая следует за этим знаком препинания, делает структурный поворот от предшествующей части под некоторым, большим или меньшим, „углом“: Комната наполнилась шумом отодвигаемых стульев, в углу вспыхнул огонёк спички, осветив кисть руки с длинными пальцами, испуганной курицей заклохтала какая-то барышня, — Самгину было приятно смятение, вызванное его словами (М.Г.); Марья села на траву, положила голову Мишки к себе на колени, — у него голова висела, до того был худ (А.Т.); Мне, по крайней мере, известно, что в Краснодоне остались Володя Осьмухин и Толя Орлов, — разве они будут сидеть сложа руки? (Ф.) <...>
Также тут можно поставить и просто тире в значении "как следствие", см. здесь.
- Перед второй частью бессоюзного сложного предложения ставится тире, если в ней содержится следствие, результат либо вывод из того, о чем говорится в первой части (между частями можно вставить слова поэтому, тогда и т. п.): Я умираю — мне не к чему лгать (Т.); Вы раздвинете мокрый куст — вас так и обдаст накопившимся тёплым запахом ночи (Т.); Не было никакой возможности уйти незаметно — он вышел открыто, будто идёт на двор, и шмыгнул в огород (Ф.). <...>
Постановка запятой и даже двоеточия тоже будет уместна, см. там же.
- Если значение следствия интонационно не подчеркивается, то вместо тире между частями бессоюзного сложного предложения ставится запятая: …Я доопрошу его осторожно, он и не заметит (Ч.); Человек не иголка, найдём (Ч.). <...>
- В произведениях писателей-классиков вместо тире в рассматриваемом случае встречается двоеточие: Делать было нечего: Марья Ивановна села в карету и поехала во дворец (П.); Мы ехали сзади: никто не видел (Л.); Мелкий дождик сеет с утра: выйти невозможно (Т.); Заботы, огорчения, неудачи измучили бедного батюшку до крайности: он стал недоверчив, желчен (Дост.). <...>
Поставить точку с запятой, конечно же, не возбраняется (см. здесь), однако представляется, что в данном случае части бессоюзного сложного предложения тяготеют к большей связности, а точка с запятой сделала бы их более самостоятельными — есть ли такая необходимость?..
Примечание. В бессоюзном сложном предложении части могут быть связаны по-разному: близкие по смыслу части разделяются запятой, более самостоятельные – точкой с запятой: За деревянным кирпичного цвета вокзалом видны тройки, громыхают бубенчики, кричат наперебой извозчики; зимний день сер и тепел (Бун.) – точка с запятой отграничивает часть, имеющую самостоятельный смысл, первые три части объединены общим обстоятельством (За деревянным кирпичного цвета вокзалом); В траве, в кустах кизила и дикого шиповника, в виноградниках и на деревьях – повсюду заливались цикады; воздух дрожал от их звенящего, однообразного, неумолчного крика (Купр.) – части бессоюзного предложения разделены точкой с запятой, так как сами по себе они достаточно распространены.
ВЫВОД
В вашем примере постановка запятой и тире оправдана, однако не будет ошибкой поставить просто тире или запятую. Заменить двоеточием или точкой с запятой тоже можно, хотя это может сказаться на смысле предложения не в том ключе, в каком это передано запятой и тире. Поэтому можете "примерить" варианты и выбрать тот, который вам больше по нраву.
Отсутствие слуха теперь не казалось Федору непреодолимым препятствием, — он высказывался даже в том духе, что абсолютный слух при игре на домре и не нужен.
Отсутствие слуха теперь не казалось Федору непреодолимым препятствием — он высказывался даже в том духе, что абсолютный слух при игре на домре и не нужен.
Отсутствие слуха теперь не казалось Федору непреодолимым препятствием, он высказывался даже в том духе, что абсолютный слух при игре на домре и не нужен.
Отсутствие слуха теперь не казалось Федору непреодолимым препятствием: он высказывался даже в том духе, что абсолютный слух при игре на домре и не нужен.
Отсутствие слуха теперь не казалось Федору непреодолимым препятствием; он высказывался даже в том духе, что абсолютный слух при игре на домре и не нужен.