Я думаю, что все правильно в этом предложении, потому что у союзного слова КАК есть вот такое значение (оно просто встречается нечасто):
7. (после отрицательных и вопросительных слов и выражений). Употребляется для обозначения ограничения; кроме, только. Кто, как не мы. Больше некому, как тебе. [= Больше некому, кроме тебя.]
Отмечу, что предложение в вопросе приведено с ошибками. Правильная пунктуация такая (добавляем две запятые — перед каждым союзом "и"):
Уже четвертая волна прошла, и еще неизвестно, сколько волн будет впереди, и, конечно, выхода другого, как вакцинация, у нас нет. [= нет другого выхода, кроме вакцинации]
Пока они плыли, Давенант рассказал утреннюю историю, и, всесторонне обсудив ее, Петвек должен был признать, что другого выхода, как бегство, нет. [А. С. Грин. Дорога никуда (1929)]
Я не вижу другого выхода, как взятие Екатеринодара. [А. Н. Толстой. Хождение по мукам/ Книга вторая. Восемнадцатый год (1928)]
Так что другого выхода, как организация тихой милой беседы с ученым или на худой конец с его единственной лаборанткой, у нас, боюсь, нет. [Зиновий Юрьев. Смертельное бессмертие // «Наука и жизнь», 2007]
В Нацкорпусе: другого выхода, как
Дополнение
Вполне возможно, что непонятка возникла из-за особого порядка слов в предложении (инверсии): дополнение (выхода) стоит впереди сказуемого, согласованное определение (другого) — после определяемого слова.
При прямом порядке слов предложение выглядело бы так:
... и, конечно, у нас нет другого выхода, как вакцинация.