Фенечке нравился Базаров; но и она ему нравилась. Даже лицо его изменялось, когда он с ней разговаривал: оно принимало выражение ясное, почти доброе, и к обычной его небрежности примешивалась какая-то шутливая внимательность.
И. С. Тургенев «Отцы и дети»
«Но» — это противительный союз, т. е. союз выражающий противопоставление.
Однако в данном предложении противопоставления нет, а как раз наоборот указывается на совпадение чувств. Тут уместней был бы сочинительный союз «и»:
Фенечке нравился Базаров; и она ему нравилась.
Возможно, оказывает влияние точка с запятой, но и почему поставлена точка с запятой не ясно.
ДОПОЛНЕНИЕ
Пользователь grizzly в своём ответе утверждает, что «но и» в данном случае союзное сочетание, однако не удаётся найти какого-то источника, где «но и» было бы отнесено к союзным сочетаниям.
Пытаясь проверить версию grizzly, я нашёл «но и» среди градационных союзов. Точнее нашёл «но и», как вторую часть градационного союза.
Пользователь Jim Korbett так же в своём ответе называет «но и» соединительно-градационным союзом.
Я склоняюсь к мысли, что это всё-таки в данном случае градационный союз, но есть некоторые вопросы.
Вероятно, это предложение построено на основе градационного союза, но с опусканием его первой части:
[Не только] Фенечке нравился Базаров; но и она ему нравилась.
В таком виде предложение имеет смысл.
Градационные союзы
Главным образом сопоставительные союзы при однородных членах: оба компонента этих союзов находятся в разных частях предложения, причем вторая часть имеет большую смысловую нагрузку по сравнению с первой.
Не только .. но и, не столько .. сколько, не так... как, не то что ..но (а), не то чтобы .. но (а), если не .. то и др.
Некоторые исследователи присоединяют к ним сложные союзы
да и, а то и, а не то и и др.[Словарь-справочник лингвистических терминов. Розенталь Д. Э., Теленкова М. А.]
Не понятно следующее:
По смыслу рассмотрение «но и» как градационного союза хорошо подходит, потому что тут есть сопоставление, и вторая часть предложения имеет большую смысловую нагрузку по сравнению с первой.
Однако в первой части «не только» всё-таки нет. Можно ли считать «но и» градационным союзом без неё?
Правда, у Розенталя есть оговорка:
Некоторые исследователи присоединяют к ним сложные союзы
да и, а то и, а не то и и др.
Значит, вероятно, можно считать «но и» градационным союзом без первой части. Но твёрдой уверенности нет.
По поводу точки с запятой:
Пользователь grizzly в своём ответе даёт правдоподобное объяснение:
Что касается точки запятой, то на этот вопрос нельзя ответить, не познакомившись с контекстом. Фенечке нравился Базаров подытоживает текст предыдущего абзаца, а далее поясняется, что и она нравилась Базарову. Точка с запятой разделяет этот переход.
Однако это объяснение не подкреплено никакими правилами использования точки с запятой.
Под какое правило можно подвести использование точки с запятой в данном случае, исходя из объяснения grizzly, или исходя из какого бы то ни было другого объяснения?
Интересный пример привёл в своём ответе Jim Korbett:
Я виноват, я вам солгал; но и Гринев вас обманывает. (Соединительно-градационный союз «но и».)
Это из Кпитанской дочки А. С. Пушкина:
— Государь! — закричал он в исступлении. — Я виноват, я вам солгал; но и Гринев вас обманывает. Эта девушка не племянница здешнего попа: она дочь Ивана Миронова, который казнен при взятии здешней крепости.
Видно, что тут та же самая конструкция предложения с «но и» и точкой с запятой.
Может быть, есть какое-то общее правило? Может эта точка с запятой, как раз и ставится из-за отсутствия первой части градационного союза? Может точка с запятой создаёт большую паузу (как заметил в своём ответе Ivan Olshansky), чем запятая, давая понять, что тут «градационные» отношения между частями предложения, а не простое противопоставление?