Я хотел бы узнать, нужна ли в этом предложении запятая после "Вероники"?
С каждым новым словом Вероники Сармат все больше слушает и меньше говорит.
На мой взгляд, здесь необходима смысловая запятая или интонационное тире.
Когда я первый раз начал читать это предложение, мне показалось, что речь идет о какой-то Веронике Сармат (Вероника - имя, Сармат - фамилия). И только потом стало ясно, что Вероника и Сармат - это два разных человека. Поэтому постановка запятой или тире здесь крайне рекомендуется (как минимум для того, чтобы не усложнять жизнь читающему).
Таким образом, можно предложить два варианта пунктуационного оформления данного предложения:
С каждым новым словом Вероники, Сармат все больше слушает и меньше говорит.
С каждым новым словом Вероники - Сармат все больше слушает и меньше говорит.
Какой из них лучше - решать вам.
Обновлено: благодаря рекомендациям @oleedd, добавлен вариант с интонационным тире.
Нет, запятая не нужна: обстоятельство здесь необособленное. Здесь перечислены признаки, по которым обстоятельство обособляется; сами увидите, что ни один из них к вашему случаю не подходит.