Когда правильно употреблять «насторо́женно», а когда «насторожённо»?
Варианты равноправные. Малый академический словарь:
насторо́женно И насторожённо. нареч. к настороженный. По
городу Катя шла настороженно, прятала лицо в воротник полушубка,
цепким взглядом осматривала прохожих. Марков, Сибирь
Источник: https://gufo.me/dict/mas/%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%
У Лопатина в Орфографическом словаре:
насторожённый1; кр. ф. -ён, -ена, прич.
насторожённый2 и настороженный; кр. ф. -ён, -ена и -ожен, -ожена
(находящийся в напряженном ожидании, насторожившийся: бойцы
насторожены), -ён, -ённа и -ожен, -оженна (выражающий напряженное
ожидание: лица, взгляды насторожённы и настороженны), прил.
Источник: https://gufo.me/dict/orthography_lopatin/%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%82
насторожённо и настороженно, нареч. Русский
орфографический словарь Лопатина
Источник: https://gufo.me/dict/orthography_lopatin/%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%82
Как видим, и причастие, и прилагательное, и наречие имеют два варианта ударения, мне видится произношение с ударением на О более книжным, на Ё более разговорным.
Краткая форма причастия среднего рода довольно редкая, но она возможна: Общество было (каково? что сделано?) настороженО (и насторОжено) происходящими событиями в Африке.
Наречие: Ночью меня разбудил чей-то взгляд, моя собака сидела около кровати и (как?) насторОженно (насторожённо)смотрела на меня.
Краткое прилагательное: Выражение собачьей морды было (каково?) насторОженно (насторожённо) и недовольно.
Краткое страдательное причастие: Ухо собаки (каково? что сделано?) насторОжено (настороженО), а голова повернута.