Возникла проблема: не могу понять, где следует ставить двоеточие
(при перечислении), а где — тире (при присоединительных членах).
А кто Вам сказал, что их непременно следует ставить? Если б было без вводного слова, тире и двоеточие были бы возможны, по крайней мере не были бы ошибкой:
Самые скороспелые грибы: берёзовики и сыроежки - достигают полного развития в три дня.
Тогда бы Вы сказали:"После обобщающего слова двоеточие, после однородных членов тире, так как предложение продолжается".
Но у Вас предложение с присоединительными приложениями, которые начинаются с вводного слова, в таком случае вся группа обосабливается с помощью запятых и запятая после вводного слова не ставится, чтобы указать, что оно относится именно к приложениям, а не к подлежащему:
Самые скороспелые грибы, например берёзовики и сыроежки, достигают полного развития в три дня (Аксаков)