Будет ли правильно написать "претендент на пост президента"?
Зависит от того, где и зачем это будет написано.
Вы так вопрос сформулировали, что на него невозможно дать прямой ответ. Очень, простите, путано, а суть вопроса не совсем понятна. Да и заголовок словно от другого вопроса приклеили.
Но попробую немного прояснить ситуацию.
В целом я против "претендента" в подобном контексте.
Во-первых, в сколько-нибудь серьезных, тем более - юридически значимых, текстах не принято использовать самоизобретенные термины в отношении не только потенциального Президента, но и вообще лиц на руководящих должностях.
Во-вторых, слово "претендент" имеет определенную стилистическую окраску, в отношении первого лица государства может породить нежелательные ассоциации (претендент на престол, самозванец и проч.). Не случайно в документах таких "претендентов" называют именно кандидатами, а не претендентами.
И еще одна стилистическая тонкость, сразу, возможно, не заметная, но для филолога любопытная. "Претендент" подразумевает реализацию в том или ином виде своего активного права или претензии, а выборная должность - это пассивное избирательное право (право быть избранным).
Ну и то, наконец, что "претендент в президенты" может ввести в заблуждение, а "претендент в кандидаты" звучит несколько комично.
Таким образом, с некоторой долей субъективности, но вполне определенно, я против использования конструкций со словом "претендент" в отношении подобных ситуаций, причем в любом серьезном контексте.
Если посмотреть тексты большинства законов, включая касающихся выборов Президента, то в них фигурирует понятие выдвижение (и самовыдвижение) в кандидаты. Таким образом, думаю, что там, где стилистические нормы это вообще позволяют, то есть в текстах, не рассматриваемых как что-то юридически значимое, можно воспользоваться словом "выдвиженец". Тоже с долей субъективности, разумеется.
(+) ===
По моим наблюдениям, одно время, лет сорок назад, слово "претендент" довольно активно использовалось в отношении лиц, претендующих на получение ученой степени или звания и в некоторых других случаях внутри научной или околонаучной сферы. Сейчас оно почти полностью там вытеснено словом "соискатель". Возможно, последнее приживется в отношении "кандидатов в кандидаты" и в других сферах. Но пока я бы не рекомендовал его использовать в вашей ситуации.