Оба варианта неправильны. Но вариант "по чем" вообще ни в какие ворота не лезет, в то время как в "по чему" по крайней мере падеж правильный (По какому предмету экзамен?), неправильность в том, что вопрос "что?" (по чему?) не может обычно служить заменой вопросу "какой?" (кроме как в именительном падеже во фразах типа "я не тот, что был вчера"), так что ошибка скорее лексическая, но на грани просторечия.
Также, чтоб не было вопросов в дальнейшем, укажите, какие правила
регулируют данную грамматику.
Вот этого совсем не понял. Какие правила-то то, что тут регулировать, кроме падежа?