Они подозревали о присутствии Берты.
Подозревали (о чём?) о присутствии - дополнение
(О чьём присутствии?)-о присутствии Берты. На мой взгляд, это всё-таки несогласованное определение. Связь - сильное беспредложное управление.
Как отличить несогласованное определение от дополнения?
Несогласованное определение можно заменить согласованным (полка с книгами – книжная полка), может быть выражено предложно-падежной формой (банка из-под варенья), при преобразование в глагольное словосочетание становится обстоятельством (сон до утра – спать до утра).
Если при преобразовании в глагольное словосочетание можно поставить падежный вопрос, это дополнение (надежда на успех – надеяться на что? – на успех). В роли дополнения выступают родительный отношения к производителю, владельцу, руководителю: автор повести, директор школы, а также родительный содержания: проверка исполнения, цель путешествия.
Все остальные значения родительного выступают в роли определения (платье мамы, человек крутого нрава).
Дополнением является дательный адресата: ответ товарищу (отвечать товарищу), помощь нуждающимся (помогать нуждающимся).
Попробуем заменить согласованным определением: присутствие Берты - Бертово присутствие - неказисто, но это ещё и редкое имя, а если бы было так: присутствие Ивана - Иваново присутствие - всё нормально. Так что я бы сочла определением на основе управления.
Или бы указала двойное значение: несогласованное определение с дополнительным значением дополнения.